二、抛物线上的正交弦垂足轨迹

问题：如图，已知A,B为抛物线y²=2px(P>0)上两点,O为坐标原点,若OA^OB,过O作OM^AB，M为垂足，求点M的轨迹方程。

解:设直线AB:x=my+t,交抛物线于点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

由x=my+t(y2=2px)得y²-2pmy-2pt=0\ y1y2=-2pt(y1+y2=2pm)

由→(OA)×→(OB)=0得x₁x₂+y₁y₂=0\(my₁+t)(my₂+t)+y₁y₂=(m²+1) y₁y₂+mt(y₁+y₂)+t²=0 

\(m²+1)(-2pt)+mt×2pm+t²=0\-2pt+t²=0即t=2p或t=0

当t=0时直线AB过原点舍去；当t=2p时可知直线AB过定点N(2p,0)

\由OM^AB即OM^MN\点M在以OM为直径的圆上

\M的轨迹方程为:(x-p)²+y²=p²(扣除原点)